Question

【題目】如圖，F1、F2為雙曲線C：的左、右焦點，動點P(x0，y0)(y0≥1)在雙曲線C的右支上.設∠F1PF2的平分線與x軸、y軸分別交于點M(m，0)、N.

（1）求m的取值范圍；

（2）設過點F1、N的直線l與雙曲線C交于D、E兩點，求△F2DE面積的最大值.

Answer 1

【答案】(1) (0，]. (2) 4

【解析】

（1）依題意有F1(-，0)，F2(，0).

則

，

.

由點M在∠F1PF2的平分線上知

.

由，y0≥1及

.

則，

.

故.

結合x0≥2.

從而，m的取值范圍是(0，].

（2）由（1）知

.

令x=0 .

故點.

由

.

與雙曲線方程聯立消去x得

①

.

設D(x1，y1)，E(x2，y2). 1

則，

.

由y0≥1，知.

設.于是，t≥1.

故.

當t=1，即點P(2，1)時，△F2DE面積取最大值4 .

從而，△F2DE面積的最大值為4.