Question

如圖所示的平面直角坐標系xoy中，已知直線l與半徑為1的⊙D相切于點C，動點P到直線l的距離為d，若．
（1）求點P的軌跡方程；
（2）直線l過Q（0，2）且與軌跡P交于M、N兩點，若以MN為直徑的圓過原點O，求出直線l的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）由d=，知，故點P的軌跡是以D為焦點，l為相應準線的橢圓，由，，能求出點P的軌跡方程．
（2）依題意，設直線l為：y=kx+2，（k≠0，且k存在）由，得（1+2k²）x²+8kx+6=0，由直線l與軌跡P交于M、N兩點，知，或k＜-，且M、N的橫坐標x_M，x_N就是（1+2k²）x²+8kx+6=0，的兩個解，于是有：，由此能求出直線l的方程．
解答：解：（1）∵d=，∴，
∴點P的軌跡是以D為焦點，l為相應準線的橢圓，
由，又，
解得a=，c=1，于是b=1，
以CD所在直線為x軸，以CD與圓D的另一個交點O為坐標原點建立直角坐標系，
∴所求點P的軌跡方程為．
（2）依題意，設直線l為：y=kx+2，（k≠0，且k存在）
由，得（1+2k²）x²+8kx+6=0，
∵直線l與軌跡P交于M、N兩點，
∴△=64k²-24（1+2k²）＞0，
即2k²-3＞0，∴，或k＜-，
且M、N的橫坐標x_M，x_N就是（1+2k²）x²+8kx+6=0，的兩個解，
于是有：
又∵MN為直徑的圓過原點在橢圓上，
∴，
即x_M•x_N+y_M•y_N=0，
即：x_M•x_N+（kx_M+2）（1+2kx_N）=0
∴，解得：
∴直線l方程為…（14分）
點評：本題考查點的軌跡方程的求法，考查直線方程的求法，考查運算求解能力和等價轉化能力．綜合性強，難度大，是高考的重點．