Question

【題目】設曲線是焦點在軸上的橢圓，兩個焦點分別是是，，且，是曲線上的任意一點，且點到兩個焦點距離之和為4.

（1）求的標準方程；

（2）設的左頂點為，若直線：與曲線交于兩點，（，不是左右頂點），且滿足，求證：直線恒過定點，并求出該定點的坐標.

Answer 1

【答案】（1）（2）證明見解析，直線恒過定點

【解析】

（1）根據橢圓的定義得，又焦點提供出值，從而可得，最終得橢圓方程．

（2）首先明確，設，，把直線方程代入橢圓方程可得，注意，由，∴，即，代入可得關系（要滿足直線與橢圓相交），把這個關系代入直線方程可得出直線所過的定點．

（1）設橢圓方程為，

由題意，即，∴，

∴橢圓的方程是.

（2）由（1）可知，設，，

聯立，得，

，

即，

∴，，

又，

∵，∴，即，

即，

∴，∴，

解得，，且均滿足即，

當時，的方程為，直線恒過，與已知矛盾；

當，的方程為，直線恒過.