Question

已知雙曲線的中心在原點O，其中一條準線方程為，且與橢圓有共同的焦點．
（1）求此雙曲線的標準方程；
（2）（普通中學學生做）設直線L：y=kx+3與雙曲線交于A、B兩點，試問：是否存在實數k，使得以弦AB為直徑的圓過點O？若存在，求出k的值，若不存在，請說明理由．
（重點中學學生做）設直線L：y=kx+3與雙曲線交于A、B兩點，C是直線L₁：y=mx+6上任一點（A、B、C三點不共線）試問：是否存在實數k，使得△ABC是以AB為底邊的等腰三角形？若存在，求出k的值，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知得：，則a²=3，b²=9，從而可求雙曲線的標準方程；
（2）（普通中學學生做）將y=kx+3代入得（3-k²）x²-6kx-18=0，從而可得k的范圍．設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁，x₂是上述方程的兩個根，由題意知：OA⊥OB，則x₁x₂+y₁y₂=0，從而可求滿足條件的實數k；
（重點中學學生做）將y=kx+3代入得（3-k²）x²-6kx-18=0，從而可得k的范圍．設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁，x₂是上述方程的兩個根，由題意知：A、B兩點關于直線L₁對稱，從而可求則AB的中點D的坐標，并滿足直線L₁的方程，故可求滿足條件的實數k．
解答：解：（1）由已知得：，則a²=3，b²=9，
因此所求雙曲線的標準方程為．---（4分）
（2）（普通中學學生做）
將y=kx+3代入得（3-k²）x²-6kx-18=0，
則由3-k²≠0，△=216-36k²＞0得：，---（7分）
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁，x₂是上述方程的兩個根，
由題意知：OA⊥OB，則x₁x₂+y₁y₂=0，---（9分）
又y₁=kx₁+3，y₂=kx₂+3，
則，即k=±1滿足條件．---（12分）
（重點中學學生做）
將y=kx+3代入得（3-k²）x²-6kx-18=0，
則由3-k²≠0，△=216-36k²＞0得：，---（7分）
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁，x₂是上述方程的兩個根，
由題意知：A、B兩點關于直線L₁對稱，---（9分）
則AB的中點D的坐標為，
并滿足直線L₁的方程，則k=±1滿足條件．---（12分）
點評：本題以橢圓的標準方程為載體，考查雙曲線的標準方程，考查直線與雙曲線的位置關系，解題的關鍵是將問題進行等價轉化．