Question

已知n∈N^*，數列{d_n}滿足d_n＝，數列{a_n}滿足a_n＝d₁＋d₂＋d₃＋…＋d_2n，又知在數列{b_n}中，b₁＝2，且對任意正整數m，n，.
(1)求數列{a_n}和數列{b_n}的通項公式；
(2)將數列{b_n}中的第a₁項，第a₂項，第a₃項，…，第a_n項，…刪去后，剩余的項按從小到大的順序排成新數列{c_n}，求數列{c_n}的前2 013項和．

Answer 1

(1) a_n＝3n, b_n＝2ⁿ. (2)

(1)d_n＝，∴a_n＝d₁＋d₂＋d₃＋…＋d_2n＝＝3n.
又由題知：令m＝1，則b₂＝＝2²，b₃＝＝2³，…b_n＝＝2ⁿ，若b_n＝2ⁿ，，則＝2^nm，＝2^mn，所以恒成立．
若b_n≠2ⁿ，當m＝1，不成立，所以b_n＝2ⁿ.
(2)由題意知將數列{b_n}中的第3項、第6項、第9項…刪去后構成的新數列{c_n}中的奇數列與偶數列仍成等比數列，首項分別是b₁＝2，b₂＝4公比均是8.
∴T_{2 013}＝(c₁＋c₃＋c₅＋…＋c_{2 013})＋(c₂＋c₄＋c₆＋…＋c_{2 012})＝＋＝.