Question

【題目】在一水域上建一個(gè)演藝廣場.演藝廣場由看臺(tái)Ⅰ，看臺(tái)Ⅱ，三角形水域，及矩形表演臺(tái)四個(gè)部分構(gòu)成（如圖）.看臺(tái)Ⅰ，看臺(tái)Ⅱ是分別以， 為直徑的兩個(gè)半圓形區(qū)域，且看臺(tái)Ⅰ的面積是看臺(tái)Ⅱ的面積的3倍；矩形表演臺(tái)中， 米；三角形水域的面積為平方米.設(shè).

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求的長；

（Ⅱ）若表演臺(tái)每平方米的造價(jià)為萬元，求表演臺(tái)的最低造價(jià).

Answer 1

【答案】(Ⅰ)40；(Ⅱ)120萬元.

【解析】試題分析：（1）根據(jù)看臺(tái)的面積比得出AB，AC的關(guān)系，代入三角形的面積公式求出AB，AC，再利用余弦定理計(jì)算BC；（2）根據(jù)（1）得出造價(jià)關(guān)于θ的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性求出最小造價(jià)

解析：

（Ⅰ）因?yàn)榭磁_(tái)Ⅰ的面積是看臺(tái)Ⅱ的面積的3倍，所以.

在△中， ，所以 .

由余弦定理可得

，即

所以 ， . 當(dāng)時(shí)，

(Ⅱ）設(shè)表演臺(tái)的總造價(jià)為萬元.因?yàn)?/span>m，表演臺(tái)每平方米的造價(jià)為0.3萬元，所以 ， .

記， .則.

由，解得.

當(dāng)時(shí)， ；當(dāng)時(shí)， .

故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

從而當(dāng) 時(shí)， 取得最小值，最小值為. 所以 (萬元).