Question

【題目】已知點為拋物線C:的焦點，過點的動直線與拋物線C交于,兩點，如圖．當直線與軸垂直時，．

（1）求拋物線C的方程；

（2）已知點,設直線PM的斜率為，直線PN的斜率為．請判斷是否為定值，若是，寫出這個定值，并證明你的結論；若不是，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）根據拋物線的性質可將的坐標用含的代數式表示出來，從而即可建立關于的方程；（2）聯立直線方程與拋物線方程，利用韋達定理說明的值是常量即可．

【解析】

試題分析：（1）求導，利用導數的幾何意義求解；（2）對求導，根據導數的幾何意義即可求解；（3）利用求得底面積和高即可求解．

試題解析：（1）∵為拋物線的焦點，∴．

又∵與軸垂直，且，∴，又∵點在拋物線上，

∴，∴，∴求拋物線C的方程為；（2）結論：，為定值，

設直線與拋物線交于不同兩點，，

①當直線斜率不存在時，知直線與關于軸對稱，∴．

②當直線斜率存在時，直線的方程設為，

聯立，得∴，．

又∵，，且， ，

∴

，∵，∴，綜上所述．