Question

（本小題滿分12分）
已知橢圓的離心率為其左、右焦點分別為，點P是坐標平面內一點，且（O為坐標原點）。
（1）求橢圓C的方程；
（2）過點且斜率為k的動直線交橢圓于A、B兩點，在y軸上是否存在定點M，使以AB為直徑的圓恒過這個點？若存在，求出M的坐標；若不存在，說明理由。

Answer 1

解：（1）設
則由                                1分
由得              2分
即
所以c="1        " 3分
又因為        5分
因此所求橢圓的方程為：      6分
（2）動直線的方程為：
由得                
設
則   
假設在y上存在定點M（0，m），滿足題設，則
 
由假設得對于任意的恒成立，
即解得m=1。                               
因此，在y軸上存在定點M，使得以AB為直徑的圓恒過這個點，
點M的坐標為（0，1）       
（另解 令K＝0 代入得m＝1 或m＝，把其都代入。其中m＝1時恒成立；m＝時不恒成立。因此，在y軸上存在定點M，使得以AB為直徑的圓恒過這個點， 點M的坐標為（0，1）  

略