Question

【題目】以直角坐標(biāo)系xOy的坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C1的極坐標(biāo)方程是，曲線C2的參數(shù)方程是(θ為參數(shù))．

(1)寫出曲線C1，C2的普通方程；

(2)設(shè)曲線C1與y軸相交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P為曲線C2上任一點(diǎn)，求|PA|2＋|PB|2的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1) 曲線C1的普通方程為.曲線C2的普通方程為(x－2)2＋(y－2)2＝4.(2) [32－16，32＋16]．

【解析】

（1）由題得，再把極坐標(biāo)化成直角坐標(biāo),得到C1的普通方程；消參得到C2的普通方程；（2）設(shè)P(2＋2cosθ，2＋2sinθ)，求出|PA|2＋|PB|2＝

，再求其取值范圍.

(1)由，得.

∴，4ρ2cos2θ＋9ρ2sin2θ＝36.∴4x2＋9y2＝36，

即曲線C1的普通方程為.

曲線C2的普通方程為(x－2)2＋(y－2)2＝4.

(2)由(1)知，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為(0，2)，(0，－2)，設(shè)P(2＋2cosθ，2＋2sinθ)，

則|PA|2＋|PB|2＝(2＋2cosθ)2＋(2sinθ)2＋(2＋2cosθ)2＋(4＋2sinθ)2＝32＋16sinθ＋16cosθ.

∴|PA|2＋|PB|2∈[32－16，32＋16]，

即|PA|2＋|PB|2的取值范圍是[32－16，32＋16]．