Question

【題目】已知直線與橢圓交于兩點，且（其中為坐標原點），若橢圓的離心率滿足，則橢圓長軸的取值范圍是（ ）

A. B. C. D.

Answer 1

【答案】A

【解析】

聯立直線方程與橢圓方程得（a2+b2）x2﹣2a2x+a2﹣a2b2＝0，設P（x1，y1），Q（x2，y2），由OP⊥OQ，得＝0，由根與系數的關系可得：a2+b2＝2a2b2．由橢圓的離心率e滿足≤e≤，化為，即可得出．

聯立 得：（a2+b2）x2﹣2a2x+a2﹣a2b2＝0，設P（x1，y1），Q（x2，y2）

△＝4a4﹣4（a2+b2）（a2﹣a2b2）＞0，化為：a2+b2＞1．

x1+x2＝ ，x1x2＝．∵OP⊥OQ，

∴＝x1x2+y1y2＝x1x2+（x1﹣1）（x2﹣1）＝2x1x2﹣（x1+x2）+1＝0，

∴2×﹣+1＝0．化為a2+b2＝2a2b2．∴b2＝．

∵橢圓的離心率e滿足≤e≤，∴，∴，，化為5≤4a2≤6．

解得： ≤2a≤ ．滿足△＞0．∴橢圓長軸的取值范圍是[，]．

故選：A．