Question

已知F₁、F₂分別為橢圓

x2

100

+

y2

64

=1的左、右焦點，橢圓內一點M的坐標為（2，-6），P為橢圓上的一個動點，試分別求：
（1）|PM|+

5

3

|PF₂|的最小值；
（2）|PM|+|PF₂|的取值范圍．

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質

專題：計算題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）求出右準線，過點P作PN⊥l于點N，運用第二定義，可得PM|+

5

3

|PF₂|=|PM|+|PN|，再由三點共線可得距離最短，即可得到所求值；
（2）運用橢圓的第一定義，|PM|+|PF₂|=|PM|-|PF₁|+20，再由有向線段

MF1

的延長線即可得到最值．

解答： 解：（1）橢圓右準線l：x=

50

3

，過點P作PN⊥l于點N，
如圖所示則由橢圓的第二定義知 

|PF2|

|PN|

=e=

3

5

，
于是|PN|=

5

3

|PF₂|，所以|PM|+

5

3

|PF₂|=|PM|+|PN|≥d（M，l），
其中d（M，l）表示點M到準線l的距離，
易求得：d（M，l）=

44

3

所以|PM|+

5

3

|PF₂|的最小值為

44

3

（此時點P為過點M且垂直于l的線段與橢圓的交點）
（2）由橢圓的定義知|PF₂|+|PF₁|=2a=20，
故|PM|+|PF₂|=|PM|-|PF₁|+20
1?|PM|-|PF₁|≤|MF₁|=10，
故|PM|+|PF₂|≤30（當且僅當P為有向線段

MF1

的延長線與橢圓的交點時取“=”）；
2?|PF₁|-|PM|≤|MF₁|=10，
故|PM|+|PF₂|=20-（|PF₁|-|PM|）≥10（當且僅當P為有向線段

MF1

的反向延長線與橢圓的交點時取“=”）   
綜上可知，|PM|+|PF₂|的取值范圍為[10，30]．

點評：本題考查橢圓的方程、定義和性質，注意運用橢圓的兩個定義，以及兩點之間線段最短，考查運算能力，屬于中檔題和易錯題．