Question

點(diǎn)F為橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的一個(gè)焦點(diǎn)，若橢圓上存在點(diǎn)A使△AOF為正三角形，那么橢圓的離心率為（　　）

• A、

  2

  2

• B、

  3

  2

• C、

  3 -1

  2

• D、

  3

  -1

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：首先，寫(xiě)出焦點(diǎn)F的坐標(biāo)，然后，根據(jù)△AOF為正三角形，建立等式，求解其離心率．

解答： 解：如下圖所示：

設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為F，根據(jù)橢圓的對(duì)稱性，得
直線OF的斜率為k=tan60°=

3

，
∴點(diǎn)P坐標(biāo)為：（

1

2

c，

3

2

c），
代人橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，得

c2 4

a2

+

3 4 c2

b2

=1，
∴b²c²+3a²c²=4a²b²，
∴e=

3

-1．
故選：D．

點(diǎn)評(píng)：本題重點(diǎn)考查了橢圓的概念和基本性質(zhì)，屬于中檔題．求解離心率的解題關(guān)鍵是想法設(shè)法建立關(guān)于a，b，c的等量關(guān)系，然后，進(jìn)行求解．