Question

已知函數f（x）=x-alnx（a∈R）
（1）當a=2時，求曲線y=f（x）在點A（1，f（1））處的切線方程；
（2）討論函數f（x）的單調性與極值；
（3）當a=2時，求函數f（x）在[1，3]上的最值．

Answer 1

考點：利用導數求閉區間上函數的最值,利用導數研究曲線上某點切線方程

專題：導數的綜合應用

分析：（1）先求導，根據導數的幾何意義得到k=f'（1），故可求出切線方程；
（2）根據導數和函數的單調性和極值的關系即可求出，
（3）由（2）值知道函數的單調區間，函數的極小值就是最小值，再根據端點值得到函數的最大值．

解答： 解：（1）a=2時，f（x）=x-2lnx，
∴f′(x)=1-

2

x

，
∴k=f'（1）=-1，
又f（1）=1，
故切線方程為：y-1=-1（x-1）
即y=-x+2．
（2）函數f（x）的定義域為（0，+∞），
∴f′（x）=1-

a

x

=

x-a

x

①當a≤0時，f（x）在（0，+∞）上單調遞增，無極值；
②當a＞0時，f（x）在（0，a）上單調遞減，在（a，+∞）上單調遞增，
f_極小=f（a）=a-alna，無極大值．
（3）因為當a＞0時，f（x）在（0，a）上單調遞減，在（a，+∞）上單調遞增，
所以函數在[1，2]上遞減，在（2，3]上遞增．
最小值為f（2）=2-2ln2
因為f（1）=1，f（3）=3-2ln3．
f（1）＞f（3）．
所以最大值為1．

點評：本題考查了導數的幾何意義，即切線方程的求法，以及導數和函數的單調性極值最值的關系，屬于中檔題