Question

在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，點E是棱A₁B₁的中點，
（1）求證：A₁C∥面BEC₁．
（2）求異面直線A₁C與B₁C₁所成的角的正切值．

Answer 1

考點：異面直線及其所成的角,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關系與距離

分析：（1）連接B₁C，交BC₁與O，只要證明OE∥A₁C即可；
（2）由正方體的性質可得異面直線A₁C與B₁C₁所成的角為∠BCA₁，再利用直角三角形的三角函數求正切．

解答： 證明：連接B₁C，交BC₁與O，如圖

因為幾何體是正方體，所以O是B₁C的中點，又點E是棱A₁B₁的中點，所以OE∥A₁C，因為OE?平面BEC₁，A₁C?平面BEC₁，
所以A₁C∥面BEC₁．
（2）因為BC∥B₁C₁，所以異面直線A₁C與B₁C₁所成的角為∠BCA₁，
因為幾何體是正方體，所以BC⊥A₁B，
所以tan∠BCA₁=

A1B

BC

=

2

．

點評：本題考查了以正方體為載體的線面平行的判定和異面直線所成的角的求法，關鍵是將所求轉化為線線關系和平面角解答．