Question

【題目】已知集合.

（1）證明：若，則，；

（2）證明：若，則，并由此證明中的元素若滿足，則；

（3）設(shè)，試求滿足的所有的可能值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析 （2）證明見解析 （3）c＝7+4

【解析】

（1）若，則且，, ,得到 ， 均滿足集合的性質(zhì)，進而得到結(jié)論.

（2）構(gòu)造函數(shù)，分析其單調(diào)性，進而得到中元素若滿足，則.

（3）設(shè)，結(jié)合（1）（2）中的結(jié)論，可得值.

證明：（1）若a∈A，則a＝m+n且m2﹣3n2＝1，m，n∈Z，

則m+（﹣n）且m2﹣3（﹣n）2＝1，m，﹣n∈Z，

故∈A，

則（m+n）＝（2m﹣3n）+（2n﹣m），

此時（2m﹣3n）2﹣3（2n﹣m）2＝m2﹣3n2＝1，

故∈A；

（2）令f（x）＝x（x≥1），則在上的單調(diào)遞增，

證明：設(shè)，

則

∵ ，

∴，，

故，即，在上的單調(diào)遞增

∵1＜p≤q，f（1）＝2

∴2；

令b＝m+n且m2﹣3n2＝1，m，n∈Z，

∵1，

∴2＜b，

∴2＜2m≤4，

則m＝2，n＝1，則b＝2；

（3）∵c∈A，且2c≤（2）2，

∴∈A，且12，

由（2）得：2，

∴c＝（2）2＝7+4