Question

【題目】如圖，三條直線型公路，，在點處交匯，其中與、與的夾角都為，在公路上取一點，且km，過鋪設一直線型的管道，其中點在上，點在上（，足夠長），設km，km．

（1）求出，的關系式；

（2）試確定，的位置，使得公路段與段的長度之和最小．

Answer 1

【答案】（1）（2）當時，公路段與段的總長度最小

【解析】

（1）（法一）觀察圖形可得，由此根據三角形的面積公式，建立方程，化簡即可得到的關系式；

（法二）以點為坐標原點，所在的直線為軸建立平面直角坐標系，找到各點坐標，根據三點共線，即可得到結論；

（2）運用“乘1法”，利用基本不等式，即可求得最值，得到答案．

（1）（法一）由圖形可知．

，

，

所以，即．

（法二）以為坐標原點，所在的直線為軸建立平面直角坐標系，

則，，，，

由，，三點共線得．

（2）由（1）可知，

則（），

當且僅當（km）時取等號．

答：當時，公路段與段的總長度最小為8．.