Question

【題目】已知橢圓的離心率為，是橢圓上的兩個不同點.

（1）若，且點所在直線方程為，求的值；

（2）若直線的斜率之積為，線段上有一點滿足，連接并廷長交橢圓于點，求的值.

Answer 1

【答案】(1) ；（2）

【解析】試題分析：（1）設，由得，化簡得，聯立直線方程與橢圓方程，利用韋達定理代入化簡得的值；（2）根據條件得，設，則得點,代入橢圓方程，利用， ，以及由直線斜率之積為，得，代入化簡可得的值.

試題解析：（1）由題知，∴，∴橢圓的方程為.

設，將直線代入橢圓方程得:，

∴由韋達定理知:.

∵，∴，即

，

將代入得，即，

解得，又∵，∴.

（2）設，，

由題知，∴，

∴.

又∵，∴，即

.

∵點在橢圓上，∴，

即.

∵在橢圓上，∴，① ，②

又直線斜率之積為，∴，即，③

將①②③代入得，解得.