Question

（2012•武昌區模擬）設fk(x)=si

n

2k

x+co

s

2k

x(x∈R)，利用三角變換，估計f_k（x）在k=l，2，3時的取值情況，對k∈N^*時推測f_k（x）的取值范圍是

1

2k-1

≤fk(x) ≤1

（結果用k表示）．

Answer 1

分析：可求得k=l，2，3時f_k（x）的取值范圍，利用歸納法可求得k∈N*時f_k（x）的取值范圍．

解答：解：k=1，f₁（x）=sin²x+cos²x=1，
k=2，f₂（x）=sin⁴x+cos⁴x
=（sin²x+cos²x）²-2sin²x•cos²x
=（1-

1

2

sin²2x）∈[

1

2

，1]，
k=3，f₃（x）=sin⁶x+cos⁶x
=（sin²x+cos²x）（（sin²x+cos²x）²-3sin²x•cos²x）
=（1-

3

4

sin²2x）∈[

1

4

，1]，
…
∴k∈N^*時f_k（x）的取值范圍是

1

2k-1

≤f_k（x）≤1．
故答案為：

1

2k-1

≤f_k（x）≤1．

點評：本題考查三角函數的最值，考查二倍角公式的應用，考查綜合分析與應用的能力，屬于難題．