Question

【題目】如圖，四棱錐中，四邊形是菱形，，，E是上一點，且，設.

（1）證明：平面；

（2）若，，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】

（1）由已知可得，，由直線與平面垂直的判定可得平面，得到，再由，進一步得到平面；

（2）由（1）知，平面，，以O為坐標原點，分別以，，所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標系，設四邊形的邊長為4，，由列式求解a，可得所用點的坐標，再求出平面與平面的一個法向量，由兩法向量所成角的余弦值可得二面角的余弦值.

（1）證明：∵四邊形是菱形，∴O是的中點，，

∵，，∴平面，

∵平面，∴.

∵，O是的中點，∴.

∵平面，平面，，

∴平面；

（2）解：由（1）知，平面，.

∴以O為坐標原點，以，，所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標系.

設四邊形的邊長為4，.

∵四邊形是菱形，，∴與都是等邊三角形.

∴.

∴，，，，

，，.

∵，∴，

即，得.

∴，.

設平面的法向量為，

由，取，得；

設平面的一個法向量為，

由，取，得.

設二面角的平面角為，由圖可得，為鈍角，

則.

∴二面角的余弦值為.