Question

【題目】在三棱柱中， 平面， ， ， ，點在棱上，且．建立如圖所示的空間直角坐標系．

（1）當時，求異面直線與的夾角的余弦值；

（2）若二面角的平面角為，求的值．

Answer 1

【答案】（1）． （2）．

【解析】試題分析：

(1)結合題中的空間直角坐標系計算可得異面直線與的夾角的余弦值為.

(2)二面角的平面角為，則平面的法向量，據此列方程可解得的值為．

試題解析：

（1）易知， ， ．

因為， ，所以，當時， ．

所以， ．

所以，

．

故異面直線與的夾角的余弦值為．

（2）由可知， ，所以，

由（1）知， ．

設平面的法向量為，

則 即 令，解得， ，

所以平面的一個法向量為．

設平面的法向量為，

則 即 令，解得， ，

所以平面的一個法向量為．

因為二面角的平面角為，

所以，

即，解得或（舍），

故的值為．