Question

【題目】如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是邊長為1的菱形，∠BAD=60°，側棱PA⊥底面ABCD，E、F分別是PA、PC的中點．
（Ⅰ）證明：PA∥平面FBD；
（Ⅱ）若PA=1，在棱PC上是否存在一點M使得二面角E﹣BD﹣M的大小為60°．若存在，求出PM的長，不存在請說明理由．

Answer 1

【答案】證明：（Ⅰ）連接AC交BD于點O，連接OF， ∵O、F分別是AC、PC的中點，
∴FO∥PA
∵PA不在平面FBD內，
∴PA∥平面FBD
解：（Ⅱ） 解法一：（先猜后證）點M為PC的中點，即為點F，
連接EO，∵PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥AC，又∵ABCD是菱形，∴AC⊥BD，
∴BD⊥平面PAC，則BD⊥EO，BD⊥FO，
∴∠EOF就是二面角E﹣BD﹣F的平面角
連接EF，則EF∥AC，∴EF⊥FO，
∵EF= = ，
在Rt△OFE中，tan∠EOF= = ，
故 ，∴PM=1．
解法二：（向量方法探索）
以O為坐標原點，如圖所示，分別以射線OA，OB，OF為x，y，z軸的正半軸，
建立空間直角坐標系O﹣xyz，

由題意可知各點坐標如下：
O（0，0，0），A（ ，0，0），B（0， ，0），D（0， ，0），P（ ，0，1），E（ ，0， ），
設平面EBD的法向量為 =（x，y，z），
∵ =（0，1，0）， =（ ， , ），
由 ，取x=1，得 =（1，0，﹣ ），
設平面BDM的法向量為 =（a，b，c），點M（x0 ， y0 ， z0），
則由 ，得M（ ﹣ ，0，1﹣λ），
∴ =（ ）， =（ ，﹣ ，1﹣λ），
∴ ，取a=1，解得 =（1，0， ），
由已知可得cos60°= = ，解得 或 （舍），
∴點M為棱PC的中點．∴PM=1．
【解析】（Ⅰ）連接AC交BD于點O，連接OF，推導出FO∥PA，由此能證明PA∥平面FBD．（Ⅱ） 法一：（先猜后證）點M為PC的中點，即為點F，連接EO，AC⊥BD，BD⊥EO，BD⊥FO，從而∠EOF就是二面角E﹣BD﹣F的平面角，由此能求出PM=1．法二：（向量方法探索）以O為坐標原點，如圖所示，分別以射線OA，OB，OF為x，y，z軸的正半軸，建立空間直角坐標系O﹣xyz，利用向量法能求出結果．
【考點精析】通過靈活運用直線與平面平行的判定，掌握平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行即可以解答此題．