Question

【題目】若函數(shù)f（x）同時(shí)滿足①對(duì)于定義域上的任意x，恒有f（x）+f（﹣x）=0；②對(duì)于定義域上的任意x1、x2 ， 當(dāng)x1≠x2時(shí)，恒有 ＜0，則稱函數(shù)f（x）為“理想函數(shù)”．給出下列三個(gè)函數(shù)中：（1）f（x）= ；（2）f（x）=x+1；（3）f（x）= ，能被稱為“理想函數(shù)”的有（填相應(yīng)的序號(hào)）．

Answer 1

【答案】（3）
【解析】解：∵函數(shù)f（x）同時(shí)滿足①對(duì)于定義域上的任意x，恒有f（x）+f（﹣x）=0；
②對(duì)于定義域上的任意x1 ， x2 ， 當(dāng)x1≠x2時(shí)，恒有 ＜0，則稱函數(shù)f（x）為“理想函數(shù)”，
∴“理想函數(shù)”既是奇函數(shù)，又是減函數(shù)，
在（1）中，f（x）= 是奇函數(shù)，但不是減函數(shù)，故（1）不是“理想函數(shù)”；
在（2）中，f（x）=x+1在（﹣∞，+∞）內(nèi)是增函數(shù)，故（2）不是“理想函數(shù)”；
在（3）中，f（x）= ，是奇函數(shù)，且是減函數(shù)，故（3）能被稱為“理想函數(shù)”．
故答案為：（3）．
由已知得“理想函數(shù)”既是奇函數(shù)，又是減函數(shù)，由此判斷所給三個(gè)函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，能求出結(jié)果．