Question

【題目】設橢圓的左頂點為，且橢圓與直線相切，

（1）求橢圓的標準方程；

（2）過點的動直線與橢圓交于兩點，設為坐標原點，是否存在常數，使得？請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）-7

【解析】試題分析：

(1)利用題意求得，則橢圓的標準方程為

(2)當直線斜率存在時，聯立直線與橢圓方程進行討論，注意討論直線不存在的情況，綜上可得當時，

試題解析：

（1）根據題意可知，所以，

由橢圓與直線相切，聯立得，

消去可得： ，

即，

解得： （舍）或

所以橢圓的標準方程為

（2）當過點的直線的斜率存在時，設直線的方程為，設兩點的坐標分別為，

聯立得，化簡，

所以，

所以

，

所以當時，

當過點的直線的斜率不存在時，直線即與軸重合，此時，所以

,

所以當時， ,

綜上所述，當時，