Question

【題目】在平面直角坐標系中，直線的參數方程為（為參數），以原點為極點，軸為極軸的極坐標系中，圓的方程．

（1）寫出直線的普通方程和圓的直角坐標方程；

（2）若點的直角坐標為，圓與直線交于兩點，求弦中點的直角坐標和的值．

Answer 1

【答案】（1）直線的普通方程為，圓的直角坐標方程為（2）弦的中點，

【解析】

(1)消去參數t可得直線的參數方程，利用極坐標化直角坐標的方法可得圓的直角坐標.

(2)聯立直線的參數方程和圓的直角坐標方程，結合參數方程的幾何意義和韋達定理即可確定中點坐標和的值.

（1）由（為參數），得直線的普通方程為．

又由得圓的直角坐標方程為，即，

．

（2）直線的參數方程代入圓的直角坐標方程，

得，即．

由于，故可設是上述方程的兩實數根，則

又直線過點，兩點對應的參數分別為，

弦的中點對應的參數，

代入參數方程中得其直角坐標為

．