Question

【題目】已知圓：，過點的動直線與圓交于、兩點，為坐標原點，且.

(1)求的軌跡方程；

(2)當時，求的方程及的面積.

Answer 1

【答案】（1）（2），

【解析】

（1）由得為的中點，根據圓的性質可得，設出，利用向量數量積的坐標表示可得結果；

（2）設的軌跡的圓心為，由 得到，求出直線的斜率，再由點斜式可得的方程，由點到直線距離公式求出到的距離，再由勾股定理求出，代入面積公式可得答案.

（1）由圓：可知圓心，半徑為4，

設，因為，所以為的中點，

所以，

所以，即，

化簡得.

（2）由（1）知，的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，

由于，故在線段的垂直平分線上，

又在圓上，從而，

所以，所以直線的斜率為，

所以直線的方程為，即，

則到直線的距離為，

又到的距離為，

所以，

所以的面積為.