Question

【題目】如圖，直四棱柱的底面是邊長為2的菱形，，.、分別為和的中點.平面與棱所在直線交于點.

（1）求證：平面平面；

（2）求直線與平面所成角的正弦值；

（3）判斷點是否與點重合.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）（3）與重合.

【解析】

（1）在平面中，利用菱形的性質可以證明出，結合直棱柱的性質、線面垂直的性質定理可以證明出，這樣利用線面垂直、面面垂直的判定定理證明出平面平面；

（2）建立空間直角坐標系，利用空間向量夾角公式求出直線與平面所成角的正弦值；

（3）通過空間向量數量積公式可得，利用線面的相交關系，可以證明出點與點重合.或者通過設點的坐標，通過空間向量數量積公式，由，可以求出的坐標，這樣就可以證明出點與點重合.

證明：（1）如圖所示，連結，，

∵四邊形為菱形，

且，∴，

又為等邊的邊的中點，

∴.

又直四棱柱中，平面，

平面，

∴.

又，平面，

∴平面，

又平面，∴平面平面.

（2）法1：

∵，，三線垂直，

∴以為原點，，，所在的直線為，，軸建系，則

，，，，，

，，，

設平面的法向量為，則

，

令得.

設直線與平面所成角為，

則

.

∴直線與平面所成角正弦值為.

法2：

如圖所示，連結，交于點.連接，交于，

∵四邊形為菱形，∴，

又，底面，∴平面.

易得，，三線垂直，如圖所示.

以為原點，，，所在直線為，，軸建系，

則，，，，，

，，

，，

設平面的法向量為，

則，即，

令得，

∴，

設直線與平面所成的角為，

則.

（3）法1：，，

∴，

又，

∴，

又平面，∴平面，

即平面，

由已知平面，

且平面，

∴與點重合.

法2：設.

則，

∴，即，

∴，又，

即與重合.