Question

【題目】已知函數(shù)（，為自然對數(shù)的底數(shù)，）.

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）當(dāng)時(shí)，求使得恒成立的最小整數(shù).

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）2.

【解析】

（1）對函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，根據(jù)的不同取值，求出函數(shù)的單調(diào)性；

（2）結(jié)合（1）求出當(dāng)時(shí)，的最大值，再根據(jù)題意，列出不等式，最后求出的最小整數(shù)值.

（1），

令.

當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)是實(shí)數(shù)集上的減函數(shù)；

當(dāng)時(shí)，當(dāng)，在上單調(diào)遞減；當(dāng)在上單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，當(dāng)在上單調(diào)遞減；當(dāng)在上單調(diào)遞增；

（2）由（1）知：當(dāng)時(shí)，函數(shù)在時(shí)，單調(diào)遞減，由題意可知：

，得舍去；

當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，由題意可知：，得舍去；

當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減，所以有：，

，可得，

令，

由，可得，即，在上是單調(diào)遞增函數(shù)，因?yàn)?/span>，所以當(dāng)時(shí)，使得恒成立的最小整數(shù)值為2.