Question

（本小題滿分14分）
設橢圓C：的左、右焦點分別為F₁、F₂，A是橢圓C上的一點，,坐標原點O到直線AF₁的距離為.
(Ⅰ)求橢圓C的方程；
(Ⅱ)設Q是橢圓C上的一點，過點Q的直線l 交 x軸于點，交 y軸于點M，若,求直線l 的斜率.

Answer 1

(Ⅰ)由題意知，，其中，
由于，則有,
所以點A的坐標為，  ………………………………………  2分
故AF₁所在的直線方程為，
所以坐標原點O到直線AF₁的距離為  ………………………………  4分
又，所以，解得.
故所求橢圓C的方程為   …………………………………………  7分
(Ⅱ) 由題意知直線l 的斜率存在.
設直線l 的斜率為k , 直線l 的方程為，  ………………………  8分
則有M（0,k），
設，由于Q， F，M三點共線，且，
根據題意，得，
解得  …………………………………………………  10分
又點Q在橢圓上，
所以      …………………………  13分
解得.綜上，直線l 的斜率為. …………………  14分

略