Question

【題目】已知圓C的方程：x2+y2﹣2x﹣4y+m=0
（1）求m的取值范圍；
（2）圓C與直線x+2y﹣4=0相交于M，N兩點(diǎn)，且OM⊥ON（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求m的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：方程x2+y2﹣2x﹣4y+m=0，

可化為（x﹣1）2+（y﹣2）2=5﹣m，

∵此方程表示圓，

∴5﹣m＞0，即m＜5

（2）解：）

消去x得（4﹣2y）2+y2﹣2×（4﹣2y）﹣4y+m=0，

化簡得5y2﹣16y+m+8=0．

∵△=4（24﹣5m）＞0，∴ ，

設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），

則 ，由OM⊥ON得y1y2+x1x2=0，

即y1y2+（4﹣2y1）（4﹣2y2）=0，

∴16﹣8（y1+y2）+5y1y2=0．

將①②兩式代入上式得16﹣8× +5× =0，

解之得 符合

【解析】（1）先將圓的一般方程化為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，再求得m的取值范圍；（2）本小題的關(guān)鍵在于利用OM⊥ON，則直線OM，直線ON斜率的乘積為-1，從而得到y(tǒng)1y2+x1x2=0這一關(guān)系式.
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和直線與圓的三種位置關(guān)系的相關(guān)知識點(diǎn)，需要掌握圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：；圓心為A(a,b),半徑為r的圓的方程；直線與圓有三種位置關(guān)系：無公共點(diǎn)為相離；有兩個(gè)公共點(diǎn)為相交,這條直線叫做圓的割線；圓與直線有唯一公共點(diǎn)為相切，這條直線叫做圓的切線，這個(gè)唯一的公共點(diǎn)叫做切點(diǎn)才能正確解答此題．