【題目】已知橢圓
的兩焦點在
軸上，且短軸的兩個頂點與其中一個焦點的連線構成斜邊為
的等腰直角三角形.
(1)求橢圓的方程；
(2)動直線
交橢圓
于
兩點，試問：在坐標平面上是否存在一個定點
，使得以線段
為直徑的圓恒過點？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由。
【答案】（1）
； （2）線段AB為直徑的圓恒過點Q(0,1).
【解析】
(1)根據橢圓的一個焦點與短軸的兩個頂點的連線構成等腰直角三角形，以及斜邊長為
，可求出
，進而可求出橢圓方程；
(2)先由直線
可得求過定點
；根據
與
軸平行時或與
軸平行時，先求出定點
，再由證明即可.
(1)
橢圓的一個焦點與短軸的兩個頂點的連線構成等腰直角三角形，
.
又斜邊長為，即
，故，
，
橢圓方程為.
(2)由題意可知該動直線過定點,
當與軸平行時，以線段AB為直徑的圓的方程為
；
當與軸平行時，以線段AB為直徑的圓的方程為
.
由
得
，
故若存在定點，則的坐標只可能為
.
下面證明為所求：
若直線的斜率不存在，上述已經證明.
若直線的斜率存在，設直線：
，
，
，
由
得
，
，
，
，
，
，
=
，
，即以線段AB為直徑的圓恒過點.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】[選修4-4：坐標系與參數方程]
在直角坐標系
中，過點
的直線
的參數方程為
（
為參數）.以原點
為極點， 
軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線
的極坐標方程為
.
（1）求直線
的普通方程和曲線
的直角坐標方程；
（2）若直線
與曲線
相交于
， 
兩點，求
的值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知拋物線
過點
，直線
過點
與拋物線
交于
， 
兩點.點
關于
軸的對稱點為
，連接
.
（1）求拋物線線
的標準方程；
（2）問直線
是否過定點？若是，求出定點坐標；若不是，請說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在數列
中， 
， 
， 
，其中
．
⑴ 求證：數列
為等差數列；
⑵ 設
， 
，數列
的前
項和為
，若當
且
為偶數時， 
恒成立，求實數
的取值范圍；
⑶ 設數列
的前
項的和為
，試求數列
的最大值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】為了提高信息在傳輸中的抗干擾能力，通常在原信息中按一定規則加入相關數據組成傳輸信息.設原信息為
，傳輸信息為
，其中
， 
， 
運算規則為： 
， 
， 
， 
.例如：原信息為111，則傳輸信息為01111.傳輸信息在傳輸過程中受到干擾可能導致接收信息出錯，則下列接收信息出錯的是（ ）
A. 01100 B. 11010 C. 10110 D. 11000
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