Question

已知圓和圓．
（1）判斷圓和圓的位置關系；
（2）過圓的圓心作圓的切線，求切線的方程；
（3）過圓的圓心作動直線交圓于A，B兩點．試問：在以AB為直徑的所有圓中，是否存在這樣的圓，使得圓經過點？若存在，求出圓的方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）外離；
（2）或；
（3）存在圓：或，使得圓經過點 。

試題分析：（1）求出兩圓的圓心距，在比較其與 的大小關系，從而確定兩圓的位置關系；（2）由點               
斜式設出切線方程，然后用點線距離公式建立關于的方程；（2）斜率不存在時，易知圓也是滿足題意的圓；斜率存在時，假設存在以為直徑的圓經過點，則，所以，則可得，再把直線方程與圓的方程聯立可求，，代入上式可得關于的方程。
(1)因為圓的圓心，半徑，圓的圓心，半徑，
所以圓和圓的圓心距，
所以圓與圓外離.                      3分
（2）設切線的方程為：，即，
所以到的距離，解得.
所以切線的方程為或. ....7分
(3)ⅰ）當直線的斜率不存在時，直線經過圓的圓心，此時直線與圓的交點為，，即為圓的直徑，而點在圓上，即圓也是滿足題意的圓．.......8分
ⅱ）當直線的斜率存在時，設直線，由，
消去整理，得，
由△，得或．
設，則有  ①    9分
由①得，  ②
，   ③
若存在以為直徑的圓經過點，則，所以，
因此，即，   10分
則，所以，，滿足題意．
此時以為直徑的圓的方程為，
即，亦即．   12分
綜上，在以AB為直徑的所有圓中，存在圓：或
，使得圓經過點．          14分