Question

已知圓C：x²＋(y－2)²＝5，直線l：mx－y＋1＝0.
(1)求證：對(duì)m∈R，直線l與圓C總有兩個(gè)不同交點(diǎn)；
(2)若圓C與直線l相交于A，B兩點(diǎn)，求弦AB的中點(diǎn)M的軌跡方程．

Answer 1

（1）見(jiàn)解析    （2）x²＋(y－)²＝

(1)解法一：直線mx－y＋1＝0恒過(guò)定點(diǎn)(0,1)，且點(diǎn)(0,1)在圓C：x²＋(y－2)²＝5的內(nèi)部，
所以直線l與圓C總有兩個(gè)不同交點(diǎn)．
解法二：聯(lián)立方程，消去y并整理，得
(m²＋1)x²－2mx－4＝0.
因?yàn)棣ぃ?m²＋16(m²＋1)>0，所以直線l與圓C總有兩個(gè)不同交點(diǎn)．
解法三：圓心C(0,2)到直線mx－y＋1＝0的距離d＝＝≤1<，
所以直線l與圓C總有兩個(gè)不同交點(diǎn)．
(2)設(shè)A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，M(x，y)，聯(lián)立直線與圓的方程得(m²＋1)x²－2mx－4＝0，
由根與系數(shù)的關(guān)系，得x＝＝，
由點(diǎn)M(x，y)在直線mx－y＋1＝0上，當(dāng)x≠0時(shí)，得m＝，代入x＝，得x[()²＋1]＝，
化簡(jiǎn)得(y－1)²＋x²＝y(tǒng)－1，即x²＋(y－)²＝.
當(dāng)x＝0，y＝1時(shí)，滿(mǎn)足上式，故M的軌跡方程為x²＋(y－)²＝.