Question

設數列{a_n}的前n項和為S_n，a₁=1，且a_n=

Sn

n

+n-1．
（1）證明：數列{a_n}為等差數列；
（2）求數列{3^a_n}的前n項和T_n．

Answer 1

考點：數列的求和,數列遞推式

專題：等差數列與等比數列

分析：（1）由a_n=

Sn

n

+n-1得nan=Sn+n2-n，當n≥2時，(n-1)an-1=Sn-1+(n-1)2-(n-1)，兩式相減后進行化簡，由等差數列的定義即可證明；
（2）由等差數列的通項公式求出a_n，代入3^a_n進行化簡，利用等比數列的前n項和公式求解．

解答： 證明：（1）由a_n=

Sn

n

+n-1得，nan=Sn+n2-n，
當n≥2時，(n-1)an-1=Sn-1+(n-1)2-(n-1)，
兩式相減得，na_n-（n-1）a_n-1=a_n+2n-2，
所以（n-1）（a_n-a_n-1）=2（n-1），即a_n-a_n-1=2，
又a₁=1，所以數列{a_n}是以1為首項、2為公差的等差數列；
解：（2）由（1）得，a_n=1+（n-1）×2=2n-1，
則3^a_n=3^2n-1=

1

3

•9n，
所以數列{3^a_n}的前n項和T_n=

1

3

×

9(1-9n)

1-9

=

3

8

(9n-1)．

點評：本題考查等差數列的定義、通項公式，等比數列的前n項和公式，考查數列的通項a_n與前n項和為S_n的關系式的應用，屬于中檔題．