Question

已知橢圓C的方程為

x2

4

+

y2

3

=1，設M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂）為橢圓C上不同的點，直線MN的斜率為k₁，A點滿足

OM

+

ON

=λ

OA

（λ≠0）的點，且直線OA的斜率為k₂，求k₁+k₂的值．

Answer 1

考點：橢圓的應用

專題：計算題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：由題意，

OM

=（x₁，y₁），

ON

=（x₂，y₂），又由

OM

+

ON

=λ

OA

（λ≠0），k₁=

y2-y1

x2-x1

，k₂=

y1+y2

x1+x2

，化簡可得k₁+k₂=-

3

sinβcosβ-sinacosa

cos2a-cos2β

．

解答： 解：由題意，

OM

=（x₁，y₁），

ON

=（x₂，y₂）；
∵

OM

+

ON

=λ

OA

（λ≠0），
∴

OA

=

1

λ

（

OM

+

ON

）
=

1

λ

（x₁+x₂，y₁+y₂），
∴k₁=

y2-y1

x2-x1

，k₂=

y1+y2

x1+x2

，
∴k₁+k₂=

y2-y1

x2-x1

+

y1+y2

x1+x2

=

1

(x2-x1)(x2+x1)

[（y₂-y₁）（x₁+x₂）+（y₂+y₁）（x₂-x₁）]
=2

1

(x2-x1)(x2+x1)

（y₂x₂-y₁x₁）
設x₁=2cosa，y₁=

3

sina，x₂=2cosβ，y₂=

3

sinβ，
則2

1

(x2-x1)(x2+x1)

（y₂x₂-y₁x₁）
=-

3

sinβcosβ-sinacosa

cos2a-cos2β

．

點評：本題考查了圓錐曲線與直線的位置關系，同時考查了直線的斜率，屬于中檔題．