Question

已知f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，函數(shù)F（x）=f（tanx）．
（1）判斷F（x）的奇偶性并加以證明；
（2）求證：方程F（x）=0至少有一個實(shí)根．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的判斷,函數(shù)的零點(diǎn)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）判斷F（-x）與F（x）的關(guān)系；
（2）利用奇函數(shù)F（0）=0結(jié)合正切函數(shù)的周期性可得．

解答： 解：（1）F（x）為奇函數(shù)；
證明：因?yàn)楹瘮?shù)F（x）的定義域?yàn)镽，
F（-x）=f（tan（-x））=f（-tanx）．
由于 f（x）是定義在r上的奇函數(shù)，則-f（x）=f（-x）
所以f（-tanx）．=-f（tanx）．=-F（x）
則F（x）=-F（-x）
所以F（x）為奇函數(shù)；
（2）因?yàn)閒（x）是定義在R上的奇函數(shù)，則y=f（x）必過（0，0）
由于F（x）=f（tanx）
則tanx=0，
x=kπ（k為整數(shù)）
F（x）=0的解為x=kπ
所以F（x）=0至少有一個實(shí)根．

點(diǎn)評：本題考查了函數(shù)的奇偶性的判斷以及函數(shù)零點(diǎn)與方程根的關(guān)系，經(jīng)常考查，注意掌握．