Question

【題目】已知橢圓C： =1（a＞b＞0）的離心率為 ，b= ．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）F1 ， F2分別為橢圓的左、右焦點，A、B為橢圓的左、右頂點，P為橢圓C上的點，求證：以PF2為直徑的圓與以AB為直徑的圓相切；
（3）過左焦點F1作互相垂直的弦MN與GH，判斷MN的中點與GH的中點所在直線l是否過x軸上的定點，如果是，求出定點坐標，如果不是，說出理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：橢圓離心率e= = = ，

由b= ，解得：a2=9，

橢圓標準方程：

（2）證明：由（1）知c=2，F1（﹣2，0），F2（2，0），

連結PF1，設PF2中點Q

∵O為F1F2中點，Q為PF2中點

∴OQ∥PF1，OQ= PF1

∴OQ= PF1= （2a﹣PF2）=a﹣ PF2，

∴圓O與圓Q相切（內切）

（3）解：1°當直線MN、GH與坐標軸不垂直時，

設MN方程為x=my﹣2，m∈R，M（x1，y1），N（x2，y2），

∴ ，整理得（5m2+9）y2﹣20my﹣25=0

∴y1+y2= ，則x1+x2= ，

∴MN中點S（ ， ）

用﹣ 代S點坐標中的m，可得

GH中點T（ ， ）

設過x軸上的定點為（x0，0）

∴ = ，

化簡得（14x2+18）m2+14x0+18=0，

∵m∈R，

∴14x0+18=0，即x0=﹣ ，

∴過定點（﹣ ，0）．

2°當直線MN、GH分別與坐標軸垂直時，中點分別為F1、O，

顯然F1O所在直線為y=0，也過（﹣ ，0），

綜上，直線l過定點（﹣ ，0）．

【解析】（1）橢圓離心率e= = = ，即b= ，即可求得a，即可求得橢圓C的標準方程；（2）由O為F1F2中點，Q為PF2中點，OQ∥PF1 ， OQ= PF1 ， 則OQ=a﹣ PF2 ， 即可證明圓O與圓Q相切；（3）分類當直線MN、GH與坐標軸不垂直時，設直線方程，代入橢圓方程，利用韋達定理及中點坐標公式即可求得MN中點S，GH中點T，直線的兩點式，整理即可求得x0；當直線MN、GH分別與坐標軸垂直時，中點分別為F1、O，顯然F1O所在直線為y=0，也過（﹣ ，0）．