Question

【題目】選修4-4：坐標系與參數方程

已知直線的參數方程是（為參數），以平面直角坐標系的原點為極點， 軸的正半軸為極軸建立極坐標系，兩種坐標系中取相同的長度單位，曲線的極坐標方程是.

（Ⅰ）求直線的普通方程和曲線的直角坐標方程；

（Ⅱ）求直線被曲線的截得的弦長.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）直線的普通方程是；曲線的直角坐標方程為；（Ⅱ） .

【解析】試題分析：（Ⅰ）消去參數，得直線的普通方程，利用，即可得曲線的直角坐標方程；

（Ⅱ）直線與拋物線聯立得， 利用韋達定理求解即可.

試題解析：

（Ⅰ）由（為參數），得直線的普通方程是，

由，得，即，

所以，故曲線的直角坐標方程為.

（Ⅱ）易知拋物線的焦點是，且直線過拋物線的焦點，

設直線與曲線交于點、，

由得，

所以，所以 ，即直線被曲線截得的弦長為.