Question

【題目】如圖，在三棱臺DEF－ABC中，AB＝2DE，G，H分別為AC，BC的中點.

(1)求證：BD∥平面FGH；

(2)若CF⊥平面ABC，AB⊥BC，CF＝DE,∠BAC＝45° ，求平面FGH與平面ACFD所成的角(銳角)的大小.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】試題分析：

試題解析：（Ⅰ）根據 便可得到，從而可以得出四邊形 為平行四邊形，從而得到，便有 平面 再證明 平面 ，從而得到平面B 平面，從而 平面；
（Ⅱ）連接 ，根據條件能夠說明 三直線兩兩垂直，從而分別以這三直線為軸，建立空間直角坐標系，然后求出一些點的坐標．連接，可說明 為平面ACFD的一條法向量，設平面的法向量為

根據 即可求出法向量，設平面 與平面 所成的角為 ，根據 即可求出平面 與平面所成的角的大小．

證明：

在三棱臺DEF－ABC中，

由BC＝2EF，H為BC的中點，

可得BH∥EF，BH＝EF，

所以四邊形BHFE為平行四邊形，

可得BE∥HF.在△ABC中，G為AC的中點，H為BC的中點，所以GH∥AB.

又GH∩HF＝H，

所以平面FGH∥平面ABED.

因為BD平面ABED，

所以BD∥平面FGH.

(2)解　設AB＝2，則CF＝1.

在三棱臺DEF－ABC中，G為AC的中點，由DF＝AC＝GC，可得四邊形DGCF為平行四邊形，

因此DG∥FC，又FC⊥平面ABC，所以DG⊥平面ABC.

在△ABC中，由AB⊥BC，∠BAC＝45°，G是AC中點.所以AB＝BC，GB⊥GC，

因此GB，GC，GD兩兩垂直.以G為坐標原點，

建立如圖所示的空間直角坐標系G－xyz.

所以G(0，0，0)，B(，0，0)，C(0，，0)，D(0，0，1).

可得H，F(0，，1)，

故＝，＝(0，，1).

設n＝(x，y，z)是平面FGH的一個法向量，

則由可得

可得平面FGH的一個法向量n＝(1，－1，).

因為是平面ACFD的一個法向量，＝(，0，0).

所以cos〈，n〉＝＝＝.

所以平面FGH與平面ACFD所成角(銳角)的大小為60°.