Question

【題目】已知函數(shù)，.

（Ⅰ）若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）若在上恒成立，求正數(shù)的取值范圍；

（Ⅲ）證明：.

Answer 1

【答案】（I）單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；（II）；（III）詳見解析.

【解析】

（Ⅰ）求出導(dǎo)函數(shù)，解不等式和可得單調(diào)遞增、遞減區(qū)間；（Ⅱ）采用參數(shù)討論的方法求出函數(shù)在區(qū)間上的最小值，通過(guò)逐步排除可得正數(shù)的取值范圍；（Ⅲ）根據(jù)（Ⅱ）中的結(jié)論，當(dāng)時(shí)有，然后令，代入整理得，相加后可得所證不等式．

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，，

所以，

則當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞減；

所以單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為．

（Ⅱ）因?yàn)?/span>，，則，

.

①當(dāng) ，時(shí)，有，

故當(dāng)，則，在上是減函數(shù)，

所以當(dāng)時(shí)，，與在恒成立矛盾。

②當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在上成立，

所以在上是增函數(shù)，

所以，

即在上恒成立．

綜上所述，所求的取值范圍為．

（Ⅲ）由（Ⅱ）知當(dāng)時(shí)，在上恒成立，

即，

當(dāng)時(shí)，則有，

所以當(dāng)時(shí)，．

令，則有，

即，，

將上述個(gè)不等式依次相加得：

，

整理得.