Question

下面有四個命題：
①若

a

，

b

為一平面內兩非零向量，則

a

⊥

b

是|

a

+

b

|=|

a

-

b

|的充要條件；
②一平面內兩條曲線的方程分別是f₁（x，y）=0，f₂（x，y）=0，它們的交點是P（x₀，y₀），則方程f₁（x，y）+f₂（x，y）=0的曲線經過點P；
③經過一定點且和一條已知直線垂直的所有直線都在同一平面內；
④

lim

x→1

x2+b

x-1

=2，則b=-1．
其中真命題的序號是

 

（把符合要求的命題序號都填上）

Answer 1

分析：①由|

a

+

b

|=|

a

-

b

|平方，化簡可得

a

⊥

b

；②把點P（x₀，y₀）的坐標代入方程f₁（x，y）+f₂（x，y）=0可得證；③用反證法可證；④把b=-1代入

lim

x→1

x2+b

x-1

驗證，可證．

解答：解：①充分性：|

a

+

b

|=

( a + b )2

，|

a

-

b

|=

( a - b )2

∵|

a

+

b

|=|

a

-

b

|∴(

a

+

b

)2=(

a

-

b

)2
即

a

•

b

=0
∴

a

⊥

b

；必要性：∵

a

⊥

b

；∴

a

•

b

=0
∴(

a

+

b

)2=(

a

-

b

)2
∴|

a

+

b

|=|

a

-

b

|
②∵點P（x₀，y₀）是曲線f₁（x，y）=0，f₂（x，y）=0的交點
∴f₁（x₀，y₀）=0，f₂（x₀，y₀）=0
∴f₁（x₀，y₀）+f₂（x₀，y₀）=0
即方程f₁（x，y）+f₂（x，y）=0的曲線經過點P；
③假設點P，直線l，過P點有PA，PB，…，PN都垂直直線l．
求證：PA，PB，…，PN都在同一平面內．
證明：∵PA∩PB=P，且PA⊥l，PB⊥l
∴l⊥面PAB．
設過點P的直線PN⊥l
且PN不在面PAB內
∵PA∩PN=P，且PA⊥l，PN⊥l
∴l⊥面PAN．
則過點P有兩個平面和l垂直
這與過一點只能有一個平面和一條直線垂直矛盾
∴假設PN不在面PAB內錯誤，原命題成立．
④若b=-1則

lim

x→1

x2-1

x-1

=

lim

x→1

(x+1)(x-1)

x-1

=

lim

x→1

(x+1)=2
∵

lim

x→1

x2+b

x-1

=2，∴b=-1

點評：解決有關向量模有關命題，平方是有效的解決策略和方法，證明兩個向量垂直等價于它們的數量積為0；點的坐標是曲線方程的解，則點就在該曲線上；反證法證明問題的步驟和方法．屬基礎題．