Question

已知函數f（x）=Asin（ωx+Φ）（A＞0，ω＞0，|Φ|＜

π

2

）的圖象經過最高點A（

π

6

，2），與最高點A相鄰的一個零點為（-

π

12

，0）．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）的解析式；
（3）若α∈（0，

π

2

），且滿足f（α）-f（α-

π

6

）=1，求α．

Answer 1

考點：由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式,正弦函數的圖象

專題：三角函數的求值,三角函數的圖像與性質

分析：（1）依題意，

T

4

=

π

6

-（-

π

12

），即可求得f（x）的最小正周期；
（2）由周期公式可求得ω，f（x）=2sin（2x+Φ）過點（-

π

12

，0），|Φ|＜

π

2

，可求得Φ，從而可得函數y=f（x）的解析式；
（3）由已知展開化簡可得cos2α=

1

2

，由角的范圍即可求得α的值．

解答： （1）由題意，A=2，

T

4

=

π

6

-（-

π

12

）=

π

4

，
∴T=π，
（2）∵ω=

2π

T

=

2π

π

=2，
∴f（x）=2sin（2x+Φ），將（-

π

12

，0）代入，得sin（-

π

6

+Φ）=0，
∴故Φ=kπ+

π

6

，k∈Z
∵|Φ|＜

π

2

，
∴Φ=

π

6

，
∴函數y=f（x）的解析式為f（x）=2sin（2x+

π

6

）．
（3）∵f（α）-f（α-

π

6

）=1
∴2sin（2α+

π

6

）-2sin[2（α-

π

6

）+

π

6

]=1，展開后化簡可得：cos2α=

1

2

．
∵α∈（0，

π

2

），
∴2α∈（0，π），
∴解得：2α=

π

3

，即有α=

π

6

．

點評：本題主要考查了由y=Asin（ωx+Φ）的部分圖象確定其解析式，正弦函數的圖象和性質，屬于基礎題．