Question

【題目】已知過橢圓的左焦點，作斜率為的直線，交橢圓于兩點.

（1）若原點到直線的距離為，求直線的方程；

（2）設點，直線與橢圓交于另一點，直線與橢圓交于另一點.設的斜率為，則是否為定值?若是，求出該定值；若不是，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）或；（2）.

【解析】

(1)設過點F且斜率為k的直線l的方程為，利用點到直線的距離公式，求得，即可得到所求直線的方程；

(2)設，，，，設直線AM的方程為，

聯立方程組，根據根據與系數的關系，求得，所以，進而得到，同理得到，化簡得到，即可得到結論．

(1)由橢圓，可知，

所以可設過點F且斜率為k的直線l的方程為，

即，設原點O到直線l的距離為d，則，

依題意有，

所以所求的直線l的方程為或.

(2)設，，，，

因為點，所以可設直線AM的方程為，

聯立方程，消去y得，

整理，得.（*）

所以，是方程（*）的兩實根，所以，所以，

所以.

所以

同理，，即.

所以

，

所以（定值）.