Question

設函數f（x）=

1 a x，0≤x≤a 1 1-a (1-x)，a＜x≤1

，a為常數且a∈（0，1）
（1）當a=

1

2

時，求f[f（

1

3

）]；
（2）若x滿足f[f（x）]=x₀，但f（x₀）≠x₀，則稱x₀為f（x）的二階周期點，證明函數f（x）有且僅有兩個二階周期點，并求二階周期點x₁，x₂．

Answer 1

考點：函數與方程的綜合運用,函數的值,函數的零點與方程根的關系

專題：綜合題,方程思想,函數的性質及應用

分析：（1）當a=

1

2

時，根據所給的函數解析式直接求值即可得出答案；
（2）根據二階周期點的定義，分段進行求解，找出符號定義的根即為所求．

解答： （1）解：當a=

1

2

時，求f（

1

3

）=

2

3

，故f（f（

1

3

））=f（

2

3

）=2（1-

2

3

）=

2

3

；
（2）f（f（x））=

1 a2 x，0≤x≤a2 1 a(1-a) (a-x)，a2＜x≤a 1 (1-a)2 (x-a)，a＜x≤a2-a+1 1 a(1-a) (1-x)，a2-a+1＜x≤1

當0≤x≤a²時，由

1

a2

x=x，解得x=0，因為f（0）=0，故x=0不是函數的二階周期點；
當a²＜x≤a時，由

1

(1-a)2

(x-a)=x，解得x=

a

-a2+a+1

∈(a2，a)
因為f（

a

-a2+a+1

）=

1

a

×

a

-a2+a+1

=

1

-a2+a+1

≠

a

-a2+a+1

，
故x=

a

-a2+a+1

是函數的二階周期點；
當a＜x≤a²-a+1時，由

1

(1-a)2

(x-a)=x，解得x=

1

2-a

∈（a，a²-a+1），因為f（

1

2-a

）=

1

2-a

，故得x=

1

2-a

不是函數的二階周期點；
當a²-a+1＜x≤1時，由

1

a(1-a)

=(1-x)=x，解得x=

1

-a2+a+1

∈（a²-a+1，1），因為f（

1

-a2+a+1

）=

a

-a2+a+1

≠

1

-a2+a+1

，故x=

1

-a2+a+1

是函數的二階周期點；
因此函數有兩個二階周期點，x₁=

a

-a2+a+1

，x₂=

1

-a2+a+1

．

點評：本題考查求函數的值，新定義的理解，利用導數求函數在閉區間上的最值，考查了方程的思想，轉化化歸的思想及符號運算的能力，難度較大，綜合性強，解答時要嚴謹認真方可避免會而作不對現象的出現．