Question

如果函數y=

a

x

圖象上某點處的切線在兩個坐軸上的截距之積等于2，則實數a的值等于

 

．

Answer 1

考點：利用導數研究曲線上某點切線方程

專題：計算題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：設切點，求切線方程，求出兩個坐標軸上的截距，利用切線在兩個坐標軸上的截距之積等于2，即可求出實數a的值．

解答： 解：設切點為（m，n），則
∵y=

a

x

，
∴y′=-

a

x2

，
∴x=m時，y′=-

a

m2

，
∴切線方程為y-n=-

a

m2

（x-m），
x=0時，y=

2a

m

，y=0時，x=2m，
∵函數y=

a

x

圖象上某點處的切線在兩個坐標軸上的截距之積等于2，
∴

2a

m

•2m=4a=2，
∴a=

1

2

．
故答案為：

1

2

．

點評：本題考查導數的幾何意義，考查切線方程，考查截距的概念，正確求出切線方程是關鍵．