Question

已知函數f（x）=ln（1+x）-ln（1-x），有如下結論：
①?x∈（-1，1），有f（-x）=f（x）；
②?x∈（-1，1），有f（-x）=-f（x）；
③?x₁，x₂∈（-1，1），有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞0；
④?x₁，x₂∈（0，1），有f（

x1+x2

2

）≤

f(x1)+f(x2)

2

．
其中正確結論的序號是

 

．（寫出所有正確結論的序號）

Answer 1

考點：對數函數的圖像與性質,對數的運算性質

專題：函數的性質及應用

分析：函數f（x）是定義域（-1，1）上的奇函數，判斷①錯誤，②正確；
根據f（x）是定義域（-1，1）上的增函數，判斷③正確，
根據f（x）的圖象在（0，1）上是向下凹的增函數，判斷④正確．

解答： 解：∵函數f（x）=ln（1+x）-ln（1-x）=ln

1+x

1-x

，x∈（-1，1）；
∴?x∈（-1，1），有f（-x）=ln

1-x

1+x

=ln(

1+x

1-x

)-1=-ln

1+x

1-x

=-f（x）；
∴①錯誤，②正確；
又設x₁，x₂∈（-1，1），且x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=ln

1+x1

1-x1

-ln

1+x2

1-x2

=ln

(1+x1)(1-x2)

(1-x1)(1+x2)

，
∵1-x₁＞1-x₂＞0，1+x₂＞1+x₁＞0，
∴0＜

(1+x1)(1-x2)

(1-x1)(1+x2)

＜1，
∴ln

(1+x1)(1-x2)

(1-x1)(1+x2)

＜0，
∴f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）是定義域（-1，1）上的增函數，
即?x₁，x₂∈（-1，1），有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞0，③正確；
又f（x）=ln（1+x）-ln（1-x），
求導得：f′（x）=

1

1+x

+

1

1-x

=

1-x

1-x2

+

1+x

1-x2

=

2

1-x2

＞0，
設g（x）=

2

1-x2

，x∈（0，1），
再求導得：g′（x）=

4x

(1-x2)2

＞0，
∴f（x）是向下凹的增函數，
∴?x₁，x₂∈（0，1），有f（

x1+x2

2

）≤

f(x1)+f(x2)

2

，④正確．
綜上，正確結論的序號是②③④．
故答案為：②③④．

點評：本題考查了判斷函數的奇偶性與單調性的應用問題，也考查了導數的應用問題，是綜合性題目．