Question

已知y=f（x）是定義在R上的奇函數，且當x∈（0，1）時，f（x）=

2x

4x+1

．
（1）求y=f（x）在（-1，1）上的解析式；
（2）證明：y=f（x）在（0，1）上是減函數．

Answer 1

考點：函數奇偶性的性質,函數解析式的求解及常用方法,函數單調性的判斷與證明

專題：計算題,證明題,函數的性質及應用

分析：（1）由奇函數的定義，可得f（0）=0，當-1＜x＜0時，則0＜-x＜1，由已知解析式，化簡整理結合奇函數的定義即可得到所求；
（2）運用單調性的定義證明，注意取值、作差、變形和定符號、下結論幾個步驟．

解答： （1）解：y=f（x）是定義在R上的奇函數，則f（0）=0，
當-1＜x＜0時，則0＜-x＜1，則有f（-x）=

2-x

4-x+1

=

2x

4x+1

，
又f（-x）=-f（x），
則f（x）=-

2x

4x+1

，（-1＜x＜0），
則y=f（x）在（-1，1）上的解析式為f（x）=

- 2x 4x+1 ，-1＜x＜0 0，x=0 2x 4x+1 ，0＜x＜1

；
（2）證明：設0＜m＜n＜1，則f（m）-f（n）=

2m

4m+1

-

2n

4n+1

=

2m+2n+2m-22m+n-2n

(4m+1)(4n+1)

=

(2n-2m)(2m+n-1)

(4m+1)(4n+1)

，
由于0＜m＜n＜1，則2^m＜2ⁿ，2^m+n＞1，即有2ⁿ-2^m＞0，2^m+n-1＞0，
則f（m）-f（n）＞0，即f（m）＞f（n）．
則y=f（x）在（0，1）上是減函數．

點評：本題考查函數的奇偶性和單調性的判斷和證明以及運用，考查函數解析式的求法，考查定義法的運用，考查運算能力，屬于基礎題和易錯題．