Question

【題目】已知實數(shù)，滿足，實數(shù)，滿足，則的最小值為__________．

Answer 1

【答案】1

【解析】由ln(b+1)+a3b=0,得a=3bln(b+1),則點(b,a)是曲線y=3xln(x+1)上的任意一點，

由2dc =0,得c=2d ,則點(d,c)是直線y=2x 上的任意一點，

因為(ac)2+(bd)2表示點(b,a)到點(d,c)的距離的平方，即曲線上的一點與直線上一點的距離的平方，

所以(ac)2+(bd)2的最小值就是曲線上的點到直線距離的最小值的平方,即曲線上與直線y=2x 平行的切線到該直線的距離的平方。

，令y′=2，得x=0，此時y=0，即過原點的切線方程為y=2x，

則曲線上的點到直線距離的最小值的平方d2= =1.