Question

如圖，在直四棱柱中，底面ABCD為等腰梯形，AB∥CD,AB="4,BC=CD=2," AA="2, " E、E、F分別是棱AD、AA、AB的中點。               
（Ⅰ）證明：直線∥平面；          
（Ⅱ）求二面角的余弦值

Answer 1

（Ⅱ）

解法一：（1）在直四棱柱ABCD-ABCD中，取A₁B₁的中點F₁，
連接A₁D，C₁F₁，CF₁，因為AB="4," CD=2,且AB//CD，
所以CDA₁F₁，A₁F₁CD為平行四邊形，所以CF₁//A₁D，
又因為E、E分別是棱AD、AA的中點，所以EE₁//A₁D，
所以CF₁//EE₁，又因為平面FCC，平面FCC，
所以直線EE//平面FCC.······6分
（2）因為AB="4," BC="CD=2," 、F是棱AB的中點,所以BF=BC=CF,△BCF為正三角形,取CF的中點O,則OB⊥CF,又因為直四棱柱ABCD-ABCD中,CC₁⊥平面ABCD,所以CC₁⊥BO,所以OB⊥平面CC₁F,過O在平面CC₁F內作OP⊥C₁F,垂足為P,連接BP,則∠OPB為二面角B-FC-C的一個平面角, 在△BCF為正三角形中,,在Rt△CC₁F中, △OPF∽△CC₁F,∵∴,    ··········11分

在Rt△OPF中,,,所以
二面角B-FC-C的余弦值為.·······14分