Question

【題目】已知函數(shù)在點(diǎn)處切線的斜率為1.

（1）求的值；

（2）設(shè)，若對(duì)任意，都有，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）-1；（2）.

【解析】

（1）由題意，求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由，即，即可求解的值.

（2）由對(duì)任意，都有，轉(zhuǎn)化為對(duì)任意，都有，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)在上單調(diào)性，可得，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與最值，進(jìn)而可得到答案.

（1）由題意得，，

由于，所以，即.

（2）由題意得，當(dāng)時(shí)，，則有.

下面證當(dāng)時(shí)，對(duì)任意，都有.

由于時(shí)，，當(dāng)時(shí)，則有.

只需證明對(duì)任意，都有.

證明：設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞增；

所以當(dāng)時(shí)，，即，

所以，則.

設(shè)，，則.

設(shè)，，則.

由于當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；

則當(dāng)時(shí)，.

又時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，則，所以在上單調(diào)遞增.

當(dāng)時(shí)，則，即，所以在上單調(diào)遞增.

當(dāng)時(shí)，則.

所以對(duì)任意，都有.

所以，當(dāng)時(shí)，對(duì)任意，都有.