Question

【題目】已知橢圓C：（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F1，F2，且離心率為，M為橢圓上任意一點，當∠F1MF2＝90°時，△F1MF2的面積為1．

（Ⅰ）求橢圓C的方程；

（Ⅱ）已知點A是橢圓C上異于橢圓頂點的一點，延長直線AF1，AF2分別與橢圓交于點B，D，設直線BD的斜率為k1，直線OA的斜率為k2，求證：k1·k2等于定值．

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）見解析

【解析】

（Ⅰ）由題意可求得，則，橢圓的方程為.

（Ⅱ）設，，

當直線的斜率不存在或直線的斜率不存在時，.

當直線、的斜率存在時，,設直線的方程為，聯立直線方程與橢圓方程，結合韋達定理計算可得直線的斜率為，直線的斜率為，則.綜上可得：直線與的斜率之積為定值.

（Ⅰ）設由題，

解得，則，橢圓的方程為.

（Ⅱ）設，，當直線的斜率不存在時，

設，則，直線的方程為代入，

可得 ，，則,

直線的斜率為，直線的斜率為，

，

當直線的斜率不存在時，同理可得.

當直線、的斜率存在時，設直線的方程為，

則由消去可得：，

又，則，代入上述方程可得:

，，

則 ，

設直線的方程為，同理可得 ，

直線的斜率為

直線的斜率為， .

所以，直線與的斜率之積為定值，即.

【點睛】

(1)解答直線與橢圓的題目時，時常把兩個曲線的方程聯立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根與系數的關系，并結合題設條件建立有關參變量的等量關系．

(2)涉及到直線方程的設法時，務必考慮全面，不要忽略直線斜率為0或不存在等特殊情形．

【題型】解答題
【結束】
21

【題目】已知函數f（x）＝（x＋b）（－a），（b＞0），在（－1，f（－1））處的切線方程為（e－1）x＋ey＋e－1＝0．

（Ⅰ）求a，b；

（Ⅱ）若方程f（x）＝m有兩個實數根x1，x2，且x1＜x2，證明：x2－x1≤1＋．

Answer 1

【答案】（Ⅰ），（Ⅱ）見解析

【解析】

（Ⅰ）由題意利用導函數研究函數的切線方程，得到關于a,b的方程組，求解方程組并檢驗可得，.

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，則在(-1，0)處的切線方程為，構造函數，結合新構造函數的性質分類討論即可證得題中的不等式.

（Ⅰ）由題意，所以，

又，所以，

若，則，與矛盾，

故，.

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知， ，

設在(-1，0)處的切線方程為，易得，，

令即，，

當時，，

當時，設， ，

故函數在上單調遞增，又，

所以當時，，當時，，

所以函數在區間上單調遞減，在區間上單調遞增，

故.

，設的根為，則又函數單調遞減，

故，故，

設在(0,0)處的切線方程為，

易得令，，

當時，，

當時，

故函數在上單調遞增，又，

所以當時，，當時，，

所以函數在區間上單調遞減，在區間上單調遞增，

，

設的根為，則又函數單調遞增，

故，故，

又，.